Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.
Niech będzie rozmaitością wymiaru i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe
Odległość infinitezymalna Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora łączącego punkt z infinitezymalnie odległym punktem zadana jest wzorem
gdzie:
– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia )
Odległość dowolnych punktów Dla punktów rozmaitości dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty czyli
gdzie: = infimum = kres dolny zbioru – długość krzywej
przy czym krzywa dana jest przez równań parametrycznych
oraz
Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw.