Najczęściej spotykamy się z takimi przestrzeniami topologicznymi, których topologia jest wyznaczona przez metrykę, czyli sposób określania odległości punktów tej przestrzeni. Wtedy za otoczenia punktu przyjmuje się kule o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu. Standardowo przyjmuje się kule otwarte, ale użycie kul domkniętych prowadzi do tej samej topologii. Natomiast gdyby dopuścić kule domknięte o promieniu 0, otrzymalibyśmy tzw. topologię dyskretną, na ogół inną od wprowadzonej przez metrykę.
Inaczej jest z nieskończonościami – tu nie określamy otoczeń przez metrykę: otoczeniami elementu w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych są przedziały dla dowolnych otoczeniami elementu są przedziały dla dowolnych (ciekawe są otoczenia dla ).
Niech będą dane zbiory i zawarte w przestrzeniach topologicznych, i funkcja
Definicja (topologiczna): Funkcja jest ciągła w punkcie jeśli
symbole i to kwantyfikatory.
Definicja: Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze Funkcja jest ciągła w zbiorze zawartym w jej dziedzinie jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
W dalszym ciągu podajemy bardziej tradycyjne ujęcia i pokazujemy, że definicje Cauchy’ego są równoważne powyższym.