Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości: Cauchy’ego – podana przez Augustina Louisa Cauchy’ego, nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter oraz w definicji; Heinego – podana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową.
Niech oraz
Definicje Definicja Cauchy’ego Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy gdy:
Definicja ta jest równoważna topologicznej: warunek oznacza, że należy do kuli otwartej o środku i promieniu (czyli do otoczenia ). Warunek oznacza, że należy do kuli otwartej o środku i promieniu (czyli do otoczenia ). Tak więc zapis oznacza wybranie otoczenia a zapis oznacza dobranie do niego otoczenia (zamiast pisać Cauchy pisze ( pełni rolę ), a warunek przynależności do przenosi do poprzednika implikacji).
Definicja Heinego Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczb z który jest zbieżny do ciąg wartości jest zbieżny do czyli (tutaj jest zbiorem wszystkich ciągów nieskończonych ze zbioru )
Jeżeli funkcja spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego to jest ona ciągła na zbiorze odpowiednio w sensie Cauchy’ego lub w sensie Heinego.
Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła na całej swojej dziedzinie.