Twierdzenie Cesàro jest subtelnym przykładem. Szereg jest sumowalny w najsłabszym sensie, określanym mianem natomiast wymaga silniejszego wariantu twierdzenia, którym jest Ponieważ cała rodzina sumowań (C, α) jest liniowa i stabilna to obliczone wartości sum są takie jak wyżej.
Metody specjalne Cesàro i Hölder Aby znaleźć sumę Cesàro z jeśli istnieje, trzeba obliczyć średnią arytmetyczną sum cząstkowych szeregu, którymi są:
a średnie arytmetyczne z tych sum wynoszą:
Uzyskany ciąg średnich nie jest zbieżny, więc nie jest sumowalny w sensie Cesàro.
Istnieją dwa znane uogólnienia dla sumowania metodą Cesàro: koncepcyjnie prostszą z nich jest ciąg metod dla będących liczbami naturalnymi. jest sumowaniem metodą Cesàro, a metody wyższych rzędów są jej powtórzeniem na średnich. Powyżej, parzyste średnie są zbieżne do podczas gdy nieparzyste średnie są wszystkie równe 0, stąd średnie ze średnich są zbieżne do średniej z 0 i czyli . Dokładne obliczenia podaje .. Można więc przyjąć, że jest sumowalny do