Powyższe manipulacje dowodzą tego, że: biorąc pod uwagę metodę sumowania, która jest stabilna i liniowa oraz sumuje szereg otrzymujemy Dodatkowo, ponieważ:
stąd ostateczne wyrazy szeregu wynoszą jako
Iloczyn Cauchy’ego W 1891 roku Ernesto Cesàro wyraził nadzieję, że szeregi rozbieżne będzie można poddać ścisłej analizie wskazując na tożsamość i twierdząc, że obie strony tej równości są równe . Dla Cesàro to równanie stanowiło zastosowanie twierdzenia, które opublikował rok wcześniej, i które można określić jako pierwsze twierdzenie w historii o sumowaniu rozbieżnych szeregów. Szczegóły na temat tej metody są przedstawione niżej; głównym pomysłem jest to, że jest iloczynem Cauchy’ego z i
Iloczyn Cauchy’ego dwóch nieskończonych szeregów jest zdefiniowany nawet jeśli oba szeregi są rozbieżne. W tym przypadku, gdzie wyrazy iloczynu Caychy’ego są wyznaczane jako skończone sumy na przekątnych
stąd ostateczne wyrazy szeregu wynoszą
Zatem metoda sumowania, która zachowuje iloczyn Cauchy’ego i sumuje będzie również sumować Z wynikami z poprzedniej sekcji to oznacza równoważność między sumowalnością i z metodami, które są liniowe, stabilne i zachowują iloczyn Cauchy’ego.