długość kohomoligczną przestrzeni topologicznej, którą definiujemy jako największą liczbę naturalną taką, że istnieją takie, że: I stosuje się oznaczenie
Mamy przy tym twierdzenie:
Dla dowolnego pierścienia przemiennego z jedynką P zachodzi
Stąd przykładowo natychmiast otrzymujemy oszacowanie z dołu kategorii -wymiarowego torusa.
Związki z wymiarem oraz iloczynem Niektóre związki kategorii z wymiarem oraz iloczynem kartezjańskim można zawrzeć w następujących twierdzeniach:
Jeśli są łukowo spójne oraz takie, że jest T_5 (tj. każda podprzestrzeń jest normalna), to
Jeśli jest łukowo spójną, ośrodkową przestrzenią metryczną oraz to
Analogiczne twierdzenie zachodzi jeśli X jest łukowo spójna oraz parazwarta.
Zastosowania Kategoria Lusternika-Sznirelmanna ma zastosowania w topologii algebraicznej, różniczkowej oraz w geometrii różniczkowej. Jest stosowana m.in. przy badaniu geodezyjnych zamkniętych. Jednak jej chyba najważniejszym zastosowaniem jest szacowanie z dołu ilości punktów krytycznych na gładkich i zwartych rozmaitościach.