Niech będzie pokryciem kategoryjnym przestrzeni X. Skoro X dominuje nad Y, to istnieją takie odwzorowania ciągłe oraz że Zbiory są ściągalne w X dla zatem dla każdego istnieje homotopia
taka, że oraz dla pewnego Niech teraz dla Zbiory są otwarte w oraz Wystarczy więc pokazać, że są one ściągalne w Ponieważ to istnieje homotopia
taka, że oraz dla każdego Zdefiniujmy teraz dla każdego funkcję następująco
Funkcja ta jest ciągła oraz zauważmy, że i dla każdego oraz Tak więc funkcje ustalają ściągnięcie w zatem jest otwartym pokryciem przestrzeni zbiorami ściągalnymi w Z tego mamy, że
Rzeczy przydatne do obliczania Jedną z podstawowych technik służącą do obliczania kategorii jest stosowanie tzw. ciągów kategoryjnych, tj. ciąg otwartych podzbiorów przestrzeni nazywamy kategoryjnym długości dla zbioru otwartego jeśli:
1)
2)
3) zbiory są zawarte w pewnych otwartych i ściągalnych w zbiorach.
Zachodzi przy tym twierdzenie:
Jeśli jest łukowo spójna oraz jest otwarty, to zbiór posiada otwarty ciąg kategoryjny w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy
Często przy obliczaniu kategorii przydatne są grupy kohomologii singularnych danej przestrzeni. Wykorzystuje się tzw.