Ponieważ operator jest ciągły, względem *-słabych topologii w i ciąg wartości jest zbieżny *-słabo w a więc z założenia, że jest przestrzenią Grothendiecka, ciąg zbiega słabo w dowodząc, że operator (a tym samym również ) jest słabo zwarty.
Implikacja 2) ⇒ 3) jest spełniona automatycznie, ponieważ jest przestrzenią ośrodkową.
Pozostaje do wykazania implikacja 3) ⇒ 1). Niech będzie ciągiem elementów przestrzeni zbieżnym *-słabo do 0. W szczególności, dla dowolnego elementu przestrzeni funkcjonał na dany wzorem jest *-słabo ciągły oraz ciąg skalarów zbiega do 0. Niech
Wzór ten definiuje operator liniowy i ciągły który z założenia jest słabo zwarty. Z twierdzenia Gantmachier wynika, że jest również słabo zwarty, co oznacza, że
Przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią sprzężoną przestrzeni (zob. dualizm między a ). Niech będzie bazą kanoniczną przestrzeni tj. dla każdego zachodzi
Dla każdego zachodzi wówczas
Wynika stąd, że
Jednak
gdyż przyjmuje wartości w co dowodzi, że zbiega słabo do 0. □