Wówczas następujące warunki są równoważne: 1) jest przestrzenią Grothendiecka, 2) jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Banacha, to każdy operator liniowy i ciągły jest słabo zwarty, 3) każdy operator liniowy i ciągły jest słabo zwarty. W szczególności, ponieważ przestrzeń jest ośrodkowa, ale nie jest refleksywna, z twierdzenia tego wynika, że nie jest przestrzenią Grothendiecka (inne dowody tego faktu są podane niżej). Dowód. 1) ⇒ 2). Niech będzie przestrzenią Grothendiecka, będzie ośrodkową przestrzenią Banacha oraz niech będzie operatorem liniowym i ciągłym. Z twierdzenia Gantmachier wynika, że jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony jest słabo zwarty. Z twierdzenia Eberleina-Szmuljana wynika, że słaba zwartość operatora jest równoważna temu by dla każdego ciągu ograniczonego w dało się wybrać podciąg słabo zbieżny z ciągu Ponieważ jednak jest ośrodkowa, domknięte i ograniczone podzbiory są metryzowalne w *-słabej topologii, a więc *-słabo ciągowo zwarte (por. twierdzenie Banacha-Alaoglu). Istnieje więc podciąg ciągu który jest *-słabo zbieżny.