Homomorfizm, który jest: iniekcją, nazywamy monomorfizmem, suriekcją, nazywamy epimorfizmem, bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem), odwzorowaniem struktury w samą siebie nazywamy endomorfizmem, wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.
Typy homomorfizmów Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją: homomorfizm grup, homomorfizm pierścieni, homomorfizm przestrzeni liniowych, homomorfizm modułów.
Homomorfizm grup Niech oraz oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).
Odwzorowanie nazywamy homomorfizmem grupy w grupę jeżeli spełnione są warunki:
a)
tzn. jest funkcją ze zbioru w zbiór
b)
tzn. wynik działania wykonanego na wszystkich parach elementów zbioru i następnie odwzorowany do zbioru za pomocą funkcji jest równy wynikowi działania wykonanego na obrazach elementów (wynik ten jest na pewno elementem zbioru ponieważ operacja jest działaniem w ).
Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe na działanie
Twierdzenie Tw.