Równania opisujące układy i pola o symetrii sferycznej Stowarzyszone wielomiany Legendre’a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. równanie Schrödingera zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od ma zwykle postać przy czym oznacza operator Laplace’a zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu stałości współrzędnej radialnej Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre’a (zależnych od kąta ) i funkcji zależnych od kąta
Równanie Wielomiany Legendre’a stanowią główny składnik rozwiązania równania określonego na powierzchni sfery dla zmiennych Zapisując operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej równanie to przyjmie postać
które rozwiązuje się metodą separacji zmiennych, tj. przyjmując Otrzymuje się stąd dwa równania:
(1) równanie zależne od