– jego rozwiązania są postaci lub przy czym aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co tj.
(2) równanie zależne od
– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre’a mnożone przez dowolną stałą, przy czym oraz aby rozwiązania nie były osobliwe.
Równanie posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb takich że przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do
i
Dla każdej liczby mamy funkcji o różnych wartościach oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb oraz jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.
Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej funkcji eksponencjalnej
Funkcje nazywa się harmonikami sferycznymi; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach a przeciwnych wartościach spełnia zależność
gdzie oznacza sprzężenie zespolone.
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-12].
Kategoria:Funkcje elementarne Kategoria:Wielomiany ortogonalne