Prosta prostopadła do w punkcie nie przecina prostej w punkcie bo powstały trójkąt na podstawie twierdzenia o kącie zewnętrznym, miałby kąt zewnętrzny przy wierzchołku większy od kąta wewnętrznego przy wierzchołku co jest sprzeczne z tym, że oba te kąty są proste. Niech promień o wierzchołku leży wewnątrz kąta między i Tworzy on wtedy z kąt ostry
Niech będzie ciągiem punktów prostej leżących po tej samej stronie prostej co promień określonym następująco (rysunek):
Wtedy trójkąty są równoramienne oraz kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta Wynika stąd, że kąt jest równy kąt jest równy
Istnieje taka najmniejsza liczba naturalna że dla każdego nie mniejszego od
Stąd wynika, że promień leży między promieniem i Z aksjomatu Pascha wynika wtedy, że promień przecina bok trójkąta czyli prostą Zatem przy założeniu twierdzenia, każda prosta przechodząca przez różna od przecina prostą Stąd wynika, że przez punkt poza prostą można poprowadzić dokładnie jedną prostą jej nieprzecinającą, co jest jedną z wersji aksjomatu Euklidesa.
Zobacz też czworokąt Saccheriego kąt równoległości model Poincarégo prosta pochyła prosta zagradzająca kąt proste nadrównoległe punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej równoległość w geometrii hiperbolicznej trójkąt asymptotyczny trójkąt podwójnie asymptotyczny trójkąt potrójnie asymptotyczny
Przypisy
Kategoria:Geometria absolutna Kategoria:Twierdzenia geometrii