Są to wszystkie pierwiastki tego równania.
Równanie ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.
Dowód Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się
gdzie nadal są pierwiastkami równania .
Metoda Ferrariego Równanie przekształca się do
a następnie
Wprowadzamy nową niewiadomą Dodając do wyrażenia w nawiasie równania po lewej stronie można zapisać
czyli
Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:
Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem
które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie
jest pełnym kwadratem i równanie zostaje zredukowane do:
Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):
Przypisy
Zobacz też równanie algebraiczne równanie kwadratowe równanie sześcienne równanie zwrotne