dla dużych można ograniczyć się do pierwszego wyrazu

(3) Z powyższego wzoru wynika wzór na postać logarytmu naturalnego silni:

(4) Przydatne jest również oszacowanie:

gdzie to tzw. małe o, co oznacza, że dla rosnących wartości wartość jest coraz mniejsza od formalnie wyraża to wzór: . Symbol oznacza granicę ciągu liczbowego.

(5) Inne przybliżenie silni:

gdzie wykładnik spełnia nierówności

Właściwości Podstawowa własność silni

Tempo wzrostu silni thumb|Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!) Wzrost funkcji wraz ze wzrostem jest szybszy niż wzrost wykładniczy funkcji , ale wolniejszy niż .

Dla dużych wartości n tempo wzrostu silni jest proporcjonalne do ale odwrotnie proporcjonalne do czynnika wykładniczego .

Rozkład silni na czynniki pierwsze Lemat Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze takie że

to wykładnik liczby pierwszej oblicza się ze wzoru

gdzie oznacza część całkowitą liczby

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym gdzie jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

przy czym wyznacza się z nierówności

Przykłady