Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do Stąd odwzorowanie jest przekształceniem liniowym odwrotnym do skonstruowanego na początku.W przytoczonym dowodzie nieistotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać: Przyjęcie daje pierwotne stwierdzenie.. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie będące iniekcjąNiech a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe w produkt prosty wzorem przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja jest odwzorowaniem liniowym z w – jest ono iniektywne, gdyż można odzyskać z przyjmując gdzie wszystkie współrzędne poza -tą równą są zerowe., które zwykle nie jest bijekcją (zob.