Moduł dualny – moduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnychTzn. modułów, w których można wskazać skończoną bazę; odpowiedników skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych, w których skalary tworzą pierścień, a nie ciało (zob. Sumy i produkty proste)., elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem (por. Przykłady).
Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.
Definicja Niech będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym Zbiór wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych) sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do względem Jeśli nie byłby przemienny, to wzór definiuje przekształcenie które nie musi być liniowe.. Jeśli to nazywa się po prostu modułem dualnym do bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej czyli modułu nad ciałem zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem Niekiedy spotyka się oznaczenie .
Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej będzie zapisywane po prostu
Sumy i produkty proste Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów: Jeśli to dane wzorami umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego wzorem Na odwrót, jeśli to przekształcenie dane wzorem definiuje formę Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego odwrotnego do powyższego.. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm Jeśli tzn. to można postrzegać jako podmoduł w standardowy sposób; wówczas zawężenie jest przekształceniem liniowym należącym do produktu przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego danego wzorem Niech dla dowolnego dany będzie wzorem Suma ta jest skończona, gdyż należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie (wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do Stąd odwzorowanie jest przekształceniem liniowym odwrotnym do skonstruowanego na początku.W przytoczonym dowodzie nieistotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać: Przyjęcie daje pierwotne stwierdzenie.. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie będące iniekcjąNiech a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe w produkt prosty wzorem przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja jest odwzorowaniem liniowym z w – jest ono iniektywne, gdyż można odzyskać z przyjmując gdzie wszystkie współrzędne poza -tą równą są zerowe., które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).
Dowolny skończenie generowany moduł wolny nad rangi ma postać Moduł dualny do niego również jest tej postaciPrzypadek dający jest trywialny: wówczas gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym jest forma zerowa.Jeżeli to Jeśli jest izomorfizmem, to izomorfizm dany jest poprzez gdzie jest formą liniową, a izomorfizm ma postać ; jeśli jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to nie musi być wolnyNiech zaś będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas jest izomorficzny z który nie jest -modułem wolnym. Jeśli byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych że najwyższa potęga dzieląca dąży do dla (przykładami są czy jak również dowolny ciąg, dla którego dla dużych wszystkich kontrprzykładem jest ). Niech ma -tą współrzędną równą a pozostałe równe Elementy te nie tworzą bazy gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje w generują a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę skąd ma przeliczalny wymiar nad Jeżeli byłby wolny, to niech oznacza -bazę modułu wówczas czyli Ponieważ ma przeliczalny wymiar nad to zbiór wskaźników (dla ) również musi być przeliczalny, a więc ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów co daje przeliczalność Z drugiej jednak strony funkcja dana wzorem jest iniektywna, a więc jest nieprzeliczalny, gdyż jest nieprzeliczalny. Stąd nie jest wolny, a co za tym idzie również..
Bazy dualne Niech wtedy też (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy w sprawia, że każda forma liniowa jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy odwzorowując w element – jest to zanurzenie które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element ): jeśli są rzutami względem bazy na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy oznacza to, że jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę
Bazą dualną do bazy modułu nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami (wyżej: ). Wspomniane formy liniowe wyznaczone są za pomocą warunków:
gdzie jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.
Dwukrotna dualność
W powyższym przypadku izomorfizm między a zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem a modułem nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu
Element jest przekształceniem liniowym Obliczenie wartości dla dowolnego elementu jest przekształceniem które jest liniowe,
wprost z definicji. Niech będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy Przekształcenie dane wzorem jest addytywne, gdyż
czyli (kluczowe jest, iż elementy są addytywne!); podobnie co oznacza, że odwzorowanie jest przekształceniem liniowym dla dowolnego modułu – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.
Jeśli jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne jest izomorfizmemNiech będzie bazą a będzie stowarzyszoną z nią bazą Każdy niezerowy element ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem dla pewnego Stąd co oznacza, że jest niezerowym elementem Tym samym jedynym dla którego jest zerem w jest element skąd wynika, że dane odwzorowanie jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element jest pewnym niech należy wskazać dla którego tj. dla dowolnego Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na to wystarczy wyznaczyć które spełnia to równanie dla przebiegającego bazę dualną która rozpina Niech oraz Wówczas czyli co oznacza, że dane przekształcenie jest suriektywne., które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą dualną do bazy dualnej modułu dualnego jest baza istotnie:
Moduły dla których istnieje izomorfizm (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.
Przekształcenia dualne Niech będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na w formy liniowe na mianowicie: jeśli to Odwzorowanie dane wzorem
jest linioweJeśli i to
Ponadto dla zachodzi
Równości te zachodzą dla dowolnego zatem oraz należą do – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do Jeśli oraz oznaczają odpowiednio parowania modułów z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości (por. sprzężenie hermitowskie)..
Przekształcenie nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem również jest linioweNależy wykazać, że dla zachodzi tzn. dla dowolnego Obie strony tej równości należą do zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego Zachodzi
oraz
przy czym równości spełnione są dla dowolnego czyli należą do a stąd obie strony równości oraz mają tę samą wartość dla każdego skąd należy do Analogicznie dowodzi się dla oraz , a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identycznośćPonieważ a więc Stąd też dla dowolnego oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli oraz są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne do złożenia dane jest wzorem Dla oraz zachodzi
Z równości dla wszystkich wynika, dla wszystkich skąd należy do . Wynika stąd, że jeżeli jest izomorfizmem modułów, to jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości oraz przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń i w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych..
Jeśli są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie jest izomorfizmemSkoro są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę w bazę co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy odpowiednio modułów Bazę tworzą funkcje gdzie oraz dla tj. Przekształcenia dualne tworzą podobną bazę: w działaniu na bazę dualną dla dowolnego wektora bazowego przyjmuje postać
gdy to zachodzi dalsza równość (w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też oraz dla a więc funkcje tworzą bazę.Jeśli to i są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy jest skończenie generowany i wolny., a każde przekształcenie liniowe można utożsamiać z poprzez izomorfizm naturalnyZastosowanie kolejno izomorfizmu oraz do dowolnie wybranego elementu daje element należący do Z drugiej strony przyłożenie do przekształcenia a następnie izomorfizmu daje Ponieważ dla dowolnego zachodzi