Własności Każdy operator całkowicie ciągły jest ograniczony oraz odwzorowuje słabe ciągi Cauchy’ego w ciągi zbieżne w sensie normy. Istotnie, niech będzie całkowicie ciągłym operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha. Ponadto, niech będzie słabym ciągiem Cauchy’ego w który nie jest zbieżny w normie. Istnieją wówczas oraz ściśle rosnące ciągi liczb naturalnych o tej własności, że dla wszystkich zachodzi
Z drugiej jednak strony, ciąg jest słabo zbieżny do zera, a więc z założenia o tym, że T jest całkowicie ciągły wynika, że
co prowadzi do sprzeczności z . Każdy operator zwarty jest całkowicie ciągły. Istotnie, niech będzie operatorem zwartym między przestrzeniami Banacha. Gdyby nie był całkowicie ciągły, to istniałby taki słabo zbieżny do zera ciąg w przestrzeni że ciąg nie jest zbieżny do zera. Ze zwartości wynika jednak, że ciąg ma podciąg zbieżny do pewnego (niezerowego) elementu przestrzeni element. Ponieważ ciąg jest słabo zbieżny do zera, ze (słabej) ciągłości wynika, że również ciąg jest słabo zbieżny do zera.