Półproste te nie przecinają prostej W sytuacji rysunku obok jeden z promieni jest równoległy do prostej w kierunku promienia Promienie mają ten sam kierunek, jeśli leżą w tej samej półpłaszczyźnie wyznaczonej przez prostą przechodzącą przez ich początki., a drugi jest równoległy w kierunku promienia Wynika stąd, że równoległość promienia do prostej (jest w tej definicji pewna asymetria) można przenieść na równoległość promieni: Promień jest równoległy do promienia jeśli jest równoległy do prostej wyznaczonej przez w kierunku lub jeśli jeden z tych promieni jest zawarty w drugim.
W definicji tej brakuje dwóch cech równoległości, które są bardzo ważne: symetrii i przechodniości. Cechy te można udowodnić metodami geometrii absolutnej: Jeśli promień jest równoległy do promienia to promień jest równoległy do promienia Coxeter H.S.M., op. cit., s. 287.. Jeśli promień jest równoległy do promienia a promień jest równoległy do promienia to promień jest równoległy do promienia Coxeter H.S.M., op. cit., s. 288..
Drugie z tych twierdzeń można udowodnić metodami geometrii uporządkowaniaGeometria uporządkowania jest częścią geometrii absolutnej. Coxeter H.S.M., op. cit., s. 193–208.. Zatem równoległość promieni jest relacją równoważności.