Kaladze pochodzi z piłkarskiej rodziny. Jego ojciec grał w zespole Lokomotiv Samtredia i przez pewien czas był również prezesem tego klubu. W 2001 roku porwano jego brata, Lewana, zaś w 2006 roku oficjalnie potwierdzono jego zgon. W rezultacie dwóch mężczyzn skazano na karę pozbawienia wolności. Kaladze założył firmę Kala Captial i organizację Kala Foundation. Ponadto jest ambasadorem stowarzyszenia SOS Wioski Dziecięce.

Kariera klubowa Gruzja i Dynamo Kijów Kaladze w wieku 11 lat Kaladze zaczął grać dla juniorskiego zespołu swojego miasta. Występował także jako napastnik w zespole Lokomotiv Samtredia, gdzie jego ojciec był prezesem. Następnie skorzystał z zaproszenia Dawita Kipianego i przeszedł do Dinama Tbilisi. W zespole tym w latach 1993–1997 zagrał w 82 ligowych meczach i strzelił jednego gola. W Umaglesi Liga Kaladze zadebiutował jako 16-latek w sezonie 1993/1994. W tym samym roku został po raz pierwszy mistrzem kraju. 8 sierpnia 1995 roku w meczu Pucharu UEFA z Botewem Płowdiw Kaladze zadebiutował w pucharach europejskich. Z zespołem Dinama Kaladze pięciokrotnie wygrywał rozgrywki ligowe oraz trzykrotnie zdobył Puchar Gruzji.