2013/2014 Biegun został powołany do kadry juniorów reprezentacji Polski w sezonie 2013/2014 prowadzonej przez Macieja Maciusiaka. W pierwszych zawodach sezonu letniego, odbywających się na obiekcie HS 115 w Stams, zaliczanych do cyklu Letniego Pucharu Kontynentalnego 2013 Biegun odniósł zwycięstwo, oddając skoki na 113 m i 106 m. Tydzień później w słoweńskim Kranj dwukrotnie stanął na podium, zajmując drugie miejsce. Po drugim konkursie objął prowadzenie w całym cyklu.
W odbywających się 28 lipca zawodach indywidualnych w Hinterzarten, zaliczanych do klasyfikacji Letniego Grand Prix 2013 zajął dwunaste miejsce, oddając skoki na 102,5 m i 103 m. 2 sierpnia znalazł się w składzie reprezentacji Polski na konkurs drużynowy LGP w Wiśle. Oddał skoki na 127,5 m i 128 m, a jego drużyna zwyciężyła w domowym konkursie. W konkursie indywidualnym po raz pierwszy w karierze uplasował się w pierwszej dziesiątce, na siódmej pozycji. Skoczył na 127 m i 128,5 m, a w klasyfikacji generalnej awansował na dziewiątą lokatę. Nie startował w dwóch następnych konkursach LGP i spadł w tym czasie na 14. pozycję w tabeli, ex aequo z Dienisem Korniłowem. Powrócił do rywalizacji w tym letnim cyklu w zawodach odbywających się w Hakubie. W pierwszym z nich odniósł zwycięstwo, awansując z zajmowanego po pierwszej serii ósmego miejsca.