na każdym etapie konstrukcji przyrost pola wynosił 1/4 wartości z poprzedniego etapu. Jego oczekiwany wynik całkowitej powierzchni to 4/3 powierzchni uzyskanej w pierwszym etapie. Aby to osiągnąć zdefiniował następujący lemat algebraiczny:
Twierdzenie 23. Mając dany szereg powierzchni A, B, C, …, Z, z których A jest największa i każda z nich jest cztery razy większa niż następna w kolejności to
Archimedes udowodnił to twierdzenie wstępnie, obliczając
Z drugiej strony
Odejmując to równanie od poprzedniego, otrzymujemy
i dodając do obu stron, uzyskujemy oczekiwany wynik.
Obecnie, bardziej standardowym wyrażeniem na twierdzenie Archimedesa jest to, że sumy częściowe szeregu 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … wynoszą:
Ta forma może być udowodniona przez pomnożenie obu stron przez 1 – 1/4 i zauważeniu, że wszystkie składniki, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego, po lewej stronie równania się parami znoszą. Taka sama technika ma zastosowanie dla skończonych szeregów geometrycznych.