Twierdzenie lub lemat Riemanna–Lebesgue’a – twierdzenie analizy harmonicznej, noszące nazwiska Bernharda Riemanna i Henriego Lebesgue’a, mówiące o tym, że transformata Fouriera lub transformata Laplace’a funkcji bezwzględnie całkowalnej w sensie Lebesgue’a znika w nieskończoności.
Twierdzenie Niech będzie funkcją mierzalną należącą do przestrzeni Lebesgue’a tzn. spełniającą nierówność
Wówczas transformata Fouriera
bądź innymi słowy: obraz należy do podprzestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności przestrzeni
Dowód Niech będzie funkcją mierzalną z przestrzeni czyli wówczas:
gdzie
Zacznijmy obliczenia od funkcji charakterystycznej przesuniętego o dowolny wektor hipersześcianu o bieżącym punkcie centralnym i boku o długości równej Zbiór będzie oznaczany dalej jako
Fakt, że wskazuje iż przynajmniej jedna ze składowych wektora dąży do nieskończoności, bez utraty ogólności można przyjąć, że jest to a zatem:
skutkiem czego, korzystając między innymi z nierówności trójkąta, uzyskuje się:
Niech będzie dowolnym zbiorem mierzalnym takim, że jego miara Lebesgue’a ma pewną skończoną wartość liczbową, natomiast przybliżeniem takim, że ponadto:
gdzie jest maksymalnym zbiorem otwartym zawartym w