gdzie oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.
Jeżeli jest macierzą typu czyli o wierszach i kolumnach, to
gdzie i oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.
Dowód
Niech oznacza podprzestrzeń przestrzeni spełniającą a układ będzie bazą (tj. wraz z bazą tworzy ona bazę ). Wówczas układ jest bazą
Generowanie Niech wtedy dla pewnego który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie oraz który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako dla pewnych skalarów Stąd
co wobec dowolności oznacza, że układ rozpina
Liniowa niezależność Niech
wtedy czyli należy równocześnie do (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy).