Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to czyli
(na mocy liniowej niezależności bazy ), co dowodzi liniowej niezależności
Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż i własności wymiaru dla sumy prostej.
Przypadek nieskończeniewymiarowy Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli to układ wystarczy zastąpić dowolną bazą przestrzeni jeśli to twierdzenie to mówi, że przestrzenie oraz nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.
Wnioski
Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji: izomorfizm liniowy przeprowadza dowolną bazę na bazę gdyż wtedy ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych); jeśli dla przekształcenia liniowego jest to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:
Zobacz też lemat o rozszczepianiu nierówność Sylvestera twierdzenie Kroneckera-Capellego twierdzenie o izomorfizmie
o rzędzie