Twierdzenie Schaudera – twierdzenie analizy funkcjonalnej udowodnione w 1930 przez Juliusza SchauderaJ. Schauder, Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen, „Studia Math.” 2 (1930), s. 183–196. i mówiące, że operator liniowy między przestrzeniami Banacha jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony również jest zwarty. W 1951 Shizuo Kakutani udowodnił twierdzenie SchauderaS. Kakutani, A proof of Schauder’s theorem, „J. Math. Soc. Japan” 3 (1951), s. 228–231. w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego.
Odpowiednikiem twierdzenia Schaudera dla operatorów słabo zwartych jest twierdzenie Gantmachier.
Wersja dowodu Kakutaniego w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego Niech i będą przestrzeniami Banacha oraz niech będzie operatorem liniowym. Twierdzenie Schaudera mówi, że jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator jest zwarty. Przypadek, gdy jest operatorem zwartym, tj. z każdego ciągu elementów kuli jednostkowej przestrzeni można z ciągu wartości wybrać podciąg zbieżny w By wykazać zwartość operatora sprzężonego należy ustalić ciąg elementów kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej i wykazać, że ciąg ma podciąg zbieżny. Ze zwartości operatora wynika zwartość domknięcia obrazu Niech zatem oznacza domknięcie zbioru Dla wszystkich liczb naturalnych restrykcja do jest ciągła.