Z liniowości i wspólnej ograniczności przez 1 funkcjonałów wynika równociągłość ich restrykcji do Rzeczywiście,
Z twierdzenia Arzeli-Ascolego wynika istnienie podciągu ciągu który jest zbieżny jednostajnie na Ostatecznie,
Ze zbieżności ciągu wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w a więc z zupełności przestrzeni sprzężonych, jest on zbieżny. Przypadek, gdy jest operatorem zwartym. Z udowodnionej wyżej implikacji wynika, że operator jest zwarty. Wówczas
gdzie oznacza kanoniczne włożenie przestrzeni Banacha w swoją drugą przestrzeń sprzężoną. Ostatecznie operator jest zwarty jako złożenie z restrykcją operatora zwartego (która sama wówczas jest zwarta).
Dowód w oparciu o twierdzenie Banacha-Alaoglu Niech i będą przestrzeniami Banacha oraz niech będzie operatorem zwartym. By wykazać zwartość operatora sprzężonego bez straty ogólności można przyjąć, że przestrzeń jest ośrodkowa, ponieważ obraz operatora zwartego jest ośrodkowy. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kule domknięte w przestrzeni są zwarte w topologii *-słabej. Z ośrodkowości przestrzeni wynika metryzowalność topologii *-słabej na kulach domkniętych w Niech będzie ciągiem z kuli jednostkowej w która jest zwarta i metryzowalna w *-słabej topologii.