Korzystając z refleksywności przestrzeni Hilberta, można podać jednak krótszy dowód.
Niech będzie operatorem zwartym oraz niech będzie ciągiem w kuli jednostkowej przestrzeni Wówczas, z refleksywności przestrzeni ciąg ten ma podciąg słabo zbieżny do pewnego Wystarczy wykazać, że ciąg ma zbieżny podciąg. Zachodzą następujące oszacowania:
Ponieważ ciągłe operatory liniowe zachowują słabą zbieżność ciągów, ciąg jest słabo zbieżny do 0. Ze zwartości operatora wynika, że ciąg ten ma podciąg zbieżny do 0 w Z powyższej nierówności wynika, że i sam ciąg ma podciąg zbieżny do 0 w normie, a więc z liniowości, ostatecznie sam ciąg ma podciąg zbieżny.
Zobacz też alternatywa Fredholma twierdzenie Pitta
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Banacha Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Hilberta Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym