Ponieważ metryzowalne przestrzenie zwarte są ciągowo zwarte ma podciąg *-słabo zbieżny do pewnego elementu (który również należy do kuli jednostkowej ). By udowodnić zwartość operatora wystarczy wykazać, że ciąg jest zbieżny (w normie).
Niech będzie kulą jednostkową w oraz niech Z całkowitej ograniczoności obrazu wynika istnienie takich elementów że
Z *-słabej zbieżności ciągu do wynika istnienie takiego że dla zachodzą nierówności
Niech Istnieje wówczas takie że
stąd
Ostatecznie
dla Oznacza to, że ciąg jest zbieżny do .
Przypadek gdy jest operatorem zwartym nie ma odrębnego dowodu i dowodzony jest jak w poprzednim ustępie.
Dowód w szczególnym przypadku przestrzeni Hilberta Twierdzenie Schaudera zachodzi także dla operatorów na przestrzeniach Hilberta w sensie sprzężenia operatorów na przestrzeni Hilberta. Jako takie jest ono wnioskiem z udowodnionej wyżej wersji twierdzenia Schaudera. Rzeczywiście, jeżeli oznacza sprzężenie operatora na przestrzeni Hilberta to ,
gdzie jest antyliniowym izomorfizmem przestrzeni Hilberta i (zob. twierdzenie Riesza).