odnosi się jedynie do otoczenia wybranego punktu Jeżeli w zastosowaniach pojawia się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej, że są dostatecznie bliskie punktu Sensowne wydaje się jednak pytanie o to, kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością – w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty lub po prostu wyrażenie jej w sposób jawny.
Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawny W przypadku gdy przyjmuje wartości rzeczywiste, resztę we wzorze Taylora można wyrazić w sposób jawny. Oto niektóre ze znanych przedstawień reszty:
Reszta w postaci całkowej
Reszta w postaci Lagrange’a Istnieje takie że
Lub inaczej, istnieje takie dla lub dla że
Uwaga: W tym przypadku założenie nie jest istotne.
Reszta w postaci Cauchy’ego Istnieje takie że
Reszta w postaci Schlömilcha-Roche’a Dla każdego istnieje takie że
Dla otrzymujemy postać Cauchy’ego reszty. Dla otrzymujemy postać Lagrange’a reszty.
Szacowanie reszty Jeżeli jest -krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie że dla
to dla reszty we wzorze Taylora dla mamy oszacowanie dla
Przy czym za wystarczy obrać supremum wartości jakie -wsza pochodna funkcji przyjmuje dla argumentów z przedziału
Jeżeli natomiast, jest -krotnie różniczkowalna oraz jest taką liczbą, że dla