to dla reszty we wzorze Taylora dla mamy oszacowanie dla
Konsekwencje Z twierdzenia Taylora wynikają warunki wystarczające istnienia ekstremów lokalnych oraz punktów przegięcia. Kryteria te pozwalają znajdować punkty tego typu za pomocą pochodnych (różniczkowania) – istotne jest, czy wiodący człon rozwinięcia Taylora jest rzędu parzystego czy nieparzystego.
Szereg Taylora Jeśli funkcja gdzie oraz tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg
gdzie przyjęto Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji . Jeżeli to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina.
Samą funkcję nazywa się funkcją analityczną w punkcie jeśli dla pewnego otoczenia tego punktu powyższy szereg jest zbieżny punktowo do funkcji (funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Taylora). Jeśli jest ona analityczna w każdym punkcie dziedziny, to nazywa się ją po prostu analityczną lub gładką (zob. funkcja regularna). Pojęcie funkcji analitycznej określonej w dziedzinie zespolonej pokrywa się z pojęciem funkcji holomorficznej.