Równania Eulera-Lagrange’a, równania Lagrange’a – równania cząstkowe drugiego rzędu, których rozwiązaniami są funkcje, dla których funkcjonał (zadany całką oznaczoną) jest stacjonarny. Stanowią podstawowe równania rachunku wariacyjnego.
Np. dla funkcjonału zależnego od funkcji jednej zmiennej i jej pierwszej pochodnej
równania Eulera-Lagrange’a przyjmują postać:
Rozwiązaniami tego równania są funkcje dla których jest stacjonarne, tj. dla funkcji niewiele odchylającej się od funkcji optymalnej wartość funkcjonału zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby przyjmowało dla ekstremum.
Postać równań Eulera-Lagrange’a w ogólniejszych przypadkach (wiele funkcji, wiele zmiennych, pochodne wyższych rzędów) omówiono w dalszych rozdziałach artykułu.
Historia Równanie Eulera-Lagrange’a zostało wprowadzone przez Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrange’a w latach 1750 podczas prac związanych z problemem tautochrony. Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej.