Dzięki ich współpracy powstał rachunek wariacyjny (nazwę tę wymyślił Euler w 1766)A short biography of Lagrange..
Zastosowania Równania Eulera-Lagrange’a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi (geodezyjnej), biegu promienia światła, czyli linii, dla której droga optyczna jest najkrótsza (zasada Fermata) albo do minimalizacji energii potencjalnej układu (np. krzywa łańcuchowa).
Mechanika klasyczna Zgodnie z zasadą Hamiltona układ fizyczny porusza się po takiej trajektorii, że działanie obliczone dla ruchu od chwili do chwili jest stacjonarne, przy czym
gdzie: – czas, – lagrangian.
W mechanice klasycznej lagrangian ma postać:
gdzie: – energia kinetyczna układu, – energia potencjalna układu.
Aby było stacjonarne, musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a dla każdej zmiennej stanu
gdzie:
Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange’a mają swoje nazwy: – siła uogólniona (jej -ta składowa), – pęd uogólniony (jego -ta składowa).