Dla szeregów oraz nazywa się nim szereg gdzie:
Twierdzenie Mertensa Jeśli szeregi oraz są zbieżne i co najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to zbieżny jest ich iloczyn (Cauchy’ego), którego suma wynosi
Twierdzenie Abela Jest to jedno z uogólnień powyższego twierdzenia:
Jeśli iloczyn (Cauchy’ego) zbieżnych szeregów oraz jest zbieżny, to ma on sumę równą
Uwaga: Jeśli oba szeregi są zbieżne bezwzględnie, to suma dowolnego szeregu który za wyrazy ma wszystkie liczby postaci (każda występuje dokładnie raz, ich kolejność jest dowolna) jest równa
Dowód: Ograniczoność szeregu a co za tym idzie bezwzględna zbieżność szeregu wynika z nierówności:
gdzie i to maksymalne indeksy przy i w pierwszych wyrazach ciągu i założenia o bezwzględnej zbieżności szeregów (). Zatem można przestawiać kolejność wyrazów, w szczególności do postaci iloczynu Cauchy’ego.
Przykład Niech dany będzie szereg jego iloczyn przez siebie wynosi Ponieważ szereg geometryczny jest zbieżny dla i ma sumę to z twierdzenia Mertensa otrzymuje się, iż