Klasa równoważności zbioru nazywana jest kiełkiem zbioru względem filtra a zbiór ilorazowy – zbiorem kiełków podzbiorów zbioru względem filtra .
Suma zbiorów i ich część wspólna są zgodne z relacją
Dlatego operacje te indukują na zbiorze kiełków operacje sumy i części wspólnej kiełków. Dla dwóch kiełków można zdefiniować relację:
która jest relacją częściowego porządku na zbiorze Względem tej relacji zbiór jest kratą, której najmniejszym elementem jest kiełek a największym elementem jest kiełek .
Relacja oznacza, że istnieją takie zbiory dla których
Niech będą zbiorami, a będzie filtrem w W zbiorze można określić relację równoważności
Klasy równoważności relacji nazywane są kiełkami funkcji względem filtra, a zbiór ilorazowy zbiorem kiełków funkcji z w względem filtra
Przykłady W teorii funkcji rozpatruje się kiełki funkcji względem filtrów otoczeń punktu. Są one podstawowym narzędziem badania lokalnych własności funkcji różniczkowalnych, umożliwiającym algebraizację wielu problemów. W teorii funkcji zespolonych rozpatrywane są kiełki funkcji holomorficznych oraz snopy kiełków funkcji holomorficznych. Snopy umożliwiają badanie globalnych własności funkcji holomorficznych.
Przypisy
Kategoria:Topologiczne własności rodzin zbiorów Kategoria:Topologia ogólna Kategoria:Algebra zbiorów