zależność Catalana
I otrzymujemy ostatecznie:
Dowód: W zapisie jako sumy jedynek i dwójek jest nieparzysta liczba jedynek. Lewa strona równości stanowi zliczanie liczby zapisów w którym parametry i odpowiadają liczbie dwójek po prawej i lewej stronie środkowej jedynki.
Kilka mniej znanych twierdzeń na temat ciągu Fibonacciego: Z wyjątkiem jednocyfrowych liczb ciągu Fibonacciego zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym. Jedynymi liczbami w ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 0, 1 i 144. Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer dzieli się przez to liczba dzieli się przez Dokładniej: Jeśli to:
Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb: Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego. Istnieje nieskończenie wiele liczb dla których zachodzi podzielność W szczególności można pokazać, że jeśli to