Nazwał to twierdzenie „złotym”, inni matematycy – twierdzeniem Bernoulliego, a Siméon Denis Poisson w 1835 roku – prawem wielkich liczb; ta ostatnia nazwa stała się najczęstszą.
Prawa wielkich liczb Prawo wielkich liczb Bernoulliego Jeśli oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym to dla każdego
Słownie: niezależnie od wyboru szerokości przedziału wokół wartości oczekiwanej, prawdopodobieństwo dla dużych będzie dowolnie bliskie
Dowód słabego prawa wielkich liczb opiera się na nierówności Czebyszewa.
Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego mówi, że ciąg dąży do prawie na pewno. Dowód tego faktu wykorzystuje nierówność Bernsteina.
Mocne prawo wielkich liczb Dla ciągów (całkowalnych) zmiennych losowych wprowadza się definicję spełniania przez nich tzw. mocnego (i słabego) prawa wielkich liczb.
Ciąg zmiennych losowych spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), gdy
Mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa Jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz
to ciąg spełnia MPWL.
Wynika z niego następujący wniosek: jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie oraz to
prawie na pewno.