Studiował na Politechnice Lwowskiej, po ukończeniu nauki w 1909 praktykował przez dwa lata, a następnie otrzymał uprawnienia architekta, które umożliwiły mu otworzenie własnego biura. Do 1914 projektował budynki w stylu modernistycznym, od 1919 był członkiem nadzwyczajnym Polskiego Towarzystwa Politechnicznego we Lwowie. Po I wojnie światowej kontynuował swoją działalność, aby na początku lat 30. tworzyć w stylu funkcjonalizmu.
30 grudnia 1931 w jego willi w Łączkach koło Brzuchowic została zamordowana jego 16-letnia córka Elżbieta (Lusia), o morderstwo została posądzona opiekunka, gospodyni i kochanka Henryka Zaremby Rita Gorgonowa. Dzięki mediom sprawa stała się głośna, skupiła na rodzinie Zarembów uwagę całego kraju. Sąd w Krakowie uznał Gorgonową za winną i osadził w więzieniu, z którego wyszła po wybuchu II wojny światowej. Początkowo Henryk Zaremba był podejrzewany o utrudnianie śledztwa i zacieranie śladów, był więziony przez pięć tygodni w więzieniu „Brygidki”, nie mógł uczestniczyć w pogrzebie córki. Po zakończeniu procesu przeszedł załamanie nerwowe, przedsiębiorstwo budowlane „Henryk Zaremba i S-ka” upadło.