mnożenie ma miejsce tylko między elementami oraz
Definicja Niech będzie pierścieniem z jedynką. Modułem (lewostronnym) nad nazywa się taką strukturę algebraiczną że jest grupą abelową, funkcja spełnia dla wszystkich oraz następujące warunki:
przy czym oznacza jedynkę pierścienia
Działanie pierścienia na grupie Jeżeli przyjąć oraz rozpatrywać funkcję to pierwszy aksjomat mówi w istocie, że odwzorowania są homomorfizmami grupowymi zaś trzy pozostałe zapewniają, że jest homomorfizmem pierścienia w pierścień endomorfizmów Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. działanie grupy). W tym sensie teoria modułów uogólnia teorię reprezentacji, która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, pierścieniami grupowymi.
Rodzaje Zwykle pisze się po prostu lewostronny R-moduł M lub Prawostronny -moduł lub definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn.