Przy każdej energii E, wartość pędu p jest dana przez równanie zachowania:
które jest scałkowane po wszystkich wartościach q pomiędzy klasycznymi punktami zwrotnymi, miejscami, w których pęd zanika. Całka jest najprostsza dla cząstki w pudełku o długości L, gdzie warunek kwantowy wynosi
co z kolei daje dozwolone pędy
oraz poziomy energetyczne
Potencjał jednowymiarowy: U = Fx Kolejny łatwy przypadek z wczesnej teorii kwantowej to potencjał liniowy na dodatniej półosi, stała ograniczająca siłę F, odbijając cząstkę od nieprzenikliwej ściany. Ten przypadek jest znacznie trudniejszy w ujęciu pełnej mechaniki kwantowej, i w przeciwieństwie do innych przykładów, półklasyczna odpowiedź nie jest dokładna, lecz przybliżona, stając się coraz dokładniejsza przy dużych liczbach kwantowych.
zatem warunek kwantowy wynosi
co z kolei determinuje poziomy energii,
W szczególnym przypadku F=mg, cząstka jest ograniczona przez potencjał grawitacyjny Ziemi oraz „ścianę” w postaci jej powierzchni.
Fale de Broglie mały|Louis de Broglie (1929)