krzywe całkowe pola wektorowego hamiltonianu (tj. krzywe, wzdłuż których przemieszczałby się punkt, umieszczony w tym polu) są rozwiązaniami równań Hamiltona. Hamiltonowskie pole wektorowe definiuje przepływ na rozmaitości symplektycznej, zwany przepływem hamiltonowskim, lub symplektomorfizmem. Zgodnie z twierdzeniem Liouville’a przepływ hamiltonowski zachowuje formę objętościową przestrzeni fazowej.
Motywacja Rozmaitości symplektyczne wyłaniają się z mechaniki klasycznej. W szczególności są one uogólnieniem przestrzeni fazowej w układzie zamkniętym. Równania Hamiltona, stanowiące układ równań różniczkowych, pozwalają znaleźć równania opisujące zależność położenia układu od czasu; forma symplektyczna pozwala otrzymać pole wektorowe, opisującego przepływ układu, z pochodnej dH funkcji hamiltonowskiej H. Ponieważ zasady dynamiki Newtona są liniowymi równaniami różniczkowymi, takie mapowanie również powinno być liniowe. Potrzebujemy więc liniowego mapowania TM → T* M, lub, ekwiwalentnie, elementu T* M ⊗ T* M. Gdy damy ω na oznaczenie przekroju T* M ⊗ T* M, warunek niezdegenerowania ω upewnia nas, że dla każdej pochodnej dH istnieje unikalne pole wektorowe, VH, takie, że dH = ω(VH,· ).