Ponieważ chcemy, aby hamiltonian był stały wzdłuż całej ścieżki przepływu, powinniśmy mieć dH(VH) = ω(VH, VH) = 0, co oznacza, że ω jest formą zmienną, a co za tym idzie – 2-formą. W końcu, żądamy, aby ω nie zmieniało się pod liniami przepływu, czyli, żeby pochodna Liego omegi po VH była zerowa. Stosując wzór Cartana, otrzymujemy
co jest równoważne temu, że ω powinno być zamknięte.
Definicja Forma symplektyczna rozmaitości M jest zamkniętą, niezdegenerowaną 2-formą różniczkową ω. W tym wypadku, określenie „niezdegenerowana” oznacza, że dla każdego jeśli istnieje takie, że dla każdego , wówczas . Warunek macierzy antysymetrycznej (wchodzący w skład definicji różniczkowej 2-formy) oznacza, że dla każdego mamy dla każdego . W wymiarach nieparzystych, macierze antysymetryczne nie są odwracalne. Ponieważ ω jest różniczkowalną dwu-formą, warunek antysymetryczności implikuje, że M ma parzystą liczbę wymiarów. Warunek zamkniętości oznacza, że należąca do ω różniczka zewnętrzna formy zanika, dω = 0. Rozmaitość symplektyczna zawiera parę (M, ω), złożoną z rozmaitości M oraz formy symplektycznej ω. Przyporządkowanie formy symplektycznej ω do rozmaitości M oznacza, że dajemy M strukturę symplektyczną.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Kategoria:Rozmaitości
en:Symplectic manifold