Możemy więc dla grafu zastosować założenie indukcyjne:
co po przekształceniach daje: Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie zachodzi dla dowolnego spójnego grafu płaskiego
Wnioski Wszystkie grafy płaskie danego spójnego grafu planarnego mają taką samą liczbę ścian. Jeżeli jest planarnym grafem i oraz jego talia (długość najkrótszego cyklu) wynosi to: Jeżeli jest planarnym grafem prostym i to: Jeżeli jest planarnym grafem prostym i oraz nie ma trójkątów (cykli długości 3), to: Graf Kuratowskiego nie jest planarny. Graf Kuratowskiego nie jest planarny. Graf Petersena nie jest planarny. Jeżeli jest planarnym grafem prostym, to zawiera wierzchołek stopnia co najwyżej 5, to znaczy Jeżeli jest grafem płaskim o składowych spójności, to:
Uogólnienie Jeżeli G jest grafem spójnym, którego genus wynosi to:
Zobacz też charakterystyka Eulera graf planarny twierdzenie Eulera o wielościanach
Bibliografia
Linki zewnętrzne Dwadzieścia dowodów twierdzenia Eulera
Kategoria:Teoria grafów