Wówczas . W konsekwencji, z twierdzenia Krejna-Szmuljana wynika, że jeżeli jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha, to zbiór punktów ekstremalnych otoczki wypukłej zbioru zawiera się w . Każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny. Twierdzenie Rainwatera: Niech będzie ciągiem ograniczonym w przestrzeni Banacha Wówczas ciąg ten jest słabo zbieżny do pewnego elementu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ekstremalnego kuli jednostkowej przestrzeni zachodzi warunek . Niech będzie -algebrą. Element domkniętej kuli jednostkowej w jest punktem ekstremalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on elementem unitarnym. W szczególności, jeżeli kula ma punkt ekstremalny, to algebra ma jedynkę. Analogiczne twierdzenie nie zachodzi dla algebr operatorów na przestrzeniach Banacha, które nie są przestrzeniami Hilberta. Dla każdego kula jednostkowa algebry operatorów zwartych na przestrzeni ma punkty ekstremalne mimo tego, że algebra ta nie ma jedynkiJ. Hennefeld, Compact extremal operators, Il. J. Math. 21 (1977), 61–65..
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Zbiory wypukłe Kategoria:Przestrzenie Banacha