zdefiniował fałszywe pierwiastki, co było pierwszym w historii matematyki europejskiej świadomym użyciem liczb ujemnychPiotr Błaszczyk, Mirosława Sajka, On the Negative Numbers from the Historical and Educational Perspective, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis: Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 9, 2017, s. 6.; zdefiniował liczby urojone na podstawie liczb fikcyjnych

odkrył, że prosta oraz krzywe są obiektami złożonymi z punktów (wiążąc ruch z równaniem algebraicznym wprowadził myśl, że ruch jest tworem punktowym);

W tym zdaniu, pierwszy raz w historii matematyki, linia jest pojęta jako obiekt złożony z punktów. Sam Kartezjusz nie był świadom przełomu, jakiego dokonał w matematycznym opisie ruchu, i nigdzie w Geometrii nie zostało wprost powiedziane, że linia krzywa „składa się” z punktów. powiązał krzywą z odpowiednim wielomianem (odkrył pojęcie równania krzywej); Kartezjusz najpierw zauważył, że równanie krzywej będzie musiało mieć dwie niewiadome, ponieważ muszą związać ze sobą punkt na prostej z punktem na krzywej

Następnie Kartezjusz zauważył, że skoro wszystkie punkty krzywej są opisane tym samym równaniem: to znaczy, że na krzywej tej nie ma żadnych innych punktów.