W księdze III Kartezjusz przy pomocy paraboli dokonuje trysekcji kąta, konstrukcji trzeciej proporcjonalnej oraz konstrukcji pierwiastków równań trzeciego i czwartego stopnia, a przy pomocy paraboli sześciennej – konstrukcji pierwiastków równań piątego i szóstego stopnia.
Znaczące odkrycia matematyczne dokonane w Geometrii thumb|Jedna z konstrukcji Kartezjusza mały|Ilustracja z traktatu Kartezjusza, dotycząca problemu Pappusa
Kartezjusz w Geometrii dokonał także wielu matematycznych odkryć, między innymi: zapoczątkował geometrię analityczną; stworzył wczesne podstawy kartezjańskiego układu współrzędnych (choć sam układ współrzędnych w książce nie występuje); wprowadził pojęcie wielkości zmiennej i funkcji; znacznie usprawnił metody rozwiązywania równań zaproponowane przez Cardana w Artis Magnæ, pokazał jak za pomocą konstrukcji rozwiązać równania kwadratowe;
zdefiniował arytmetykę odcinków oraz unowocześnił antyczne pojęcie wielkości geometrycznej, czym przyczynił się do częściowego oddzielenia algebry od geometrii;