W 2013 roku zdobył z Tolimą mistrzostwo Kolumbii do lat dwudziestu.
Do seniorskiej drużyny Barrios został włączony w wieku dziewiętnastu lat przez szkoleniowca Carlosa Castro, w Categoría Primera A debiutując 23 lutego 2013 w przegranym 0:3 spotkaniu z Boyacá Chicó. W drugiej połowie tej konfrontacji otrzymał czerwoną kartkę (w konsekwencji otrzymania dwóch żółtych). Przez pierwsze kilka miesięcy pełnił rolę rezerwowego, lecz od nowego sezonu został kluczowym zawodnikiem środka pola. W 2014 roku wywalczył z Tolimą puchar Kolumbii – Copa Colombia, zaś premierowego gola w najwyższej klasie rozgrywkowej strzelił 17 maja 2015 w wygranym 5:0 meczu z Jaguares. Ogółem barwy Tolimy reprezentował przez trzy i pół roku, rozgrywając 144 spotkania we wszystkich rozgrywkach. Imponował odbiorem piłki, walecznością i mimo stosunkowo młodego wieku pełnił rolę kapitana drużyny.
W sierpniu 2016 Barrios za sumę trzech milionów dolarów przeszedł do czołowego klubu Ameryki Południowej – argentyńskiego giganta CA Boca Juniors. W argentyńskiej Primera División zadebiutował 29 października 2016 w wygranym 4:0 pojedynku z CA Temperley, początkowo będąc jednak rezerwowym ekipy.