thumb|La derivada de la función nel puntu marcáu ye equivalente a la rimada de la recta tanxente (la gráfica de la función ta dibuxada en colloráu; la tanxente a la curva ta dibuxada en verde).|280x280px En matemática, la derivada d'una función mide la rapidez cola que camuda'l valor de dicha función matemática, según camude'l valor del so variable independiente. La derivada d'una función ye un conceutu local, esto ye, calcúlase como la llende de la rapidez de cambéu media de la función en ciertu intervalu, cuando l'intervalu consideráu pa la variable independiente tórnase cada vez más pequeñu. Por ello fala del valor de la derivada d'una función nun puntu dau.
Un exemplu habitual apaez al estudiar el movimientu: si una función representa la posición d'un oxetu con respectu al tiempu, la so derivada ye la velocidá de dichu oxetu. Un avión que realice un vuelu tresatlánticu de 4500 km ente les 12:00 y les 18:00, viaxa a una velocidá media de 750 km/h. Sicasí, pue tar viaxando a velocidaes mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si ente les 15:00 y les 15:30 percuerre 400 km, la so velocidá media nesi tramu ye de 800 km/h. Pa conocer el so velocidá instantánea a les 15:20, por casu, ye necesariu calcular la velocidá media n'intervalos de tiempu cada vez menores alredor d'esta hora: ente les 15:15 y les 15:25, ente les 15:19 y les 15:21.
Entós el valor de la derivada d'una función nun puntu puede interpretase geométricamente, yá que se correspuende cola pendiente de la recta tanxente a la gráfica de la función en dichu puntu. La recta tanxente ye de la mesma la gráfica de la meyor aproximamientu llinial de la función alredor de dichu puntu. La noción de derivada puede xeneralizase pal casu de funciones de más d'una variable cola derivada parcial y el diferencial d'una función diferencial.
Historia de la derivada Los problemes típicos que dieron orixe al cálculu infinitesimal, empezaron a plantegase na dómina clásica de l'antigua Grecia (sieglu III e.C. ), pero nun s'atoparon métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos dempués (nel sieglu XVII por obra d'Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
No qu'atañe a les derivaes esisten dos conceutos de tipu xeométricu que-y dieron orixe: El problema de la tanxente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los estremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
Nel so conxuntu dieron orixe a lo que modernamente conozse como cálculu diferencial.
Sieglu XVII Los matemáticos perdieron el mieu que los griegos tuviérenlu a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeres n'usalos, empezaron a andar un camín que llevaría en mediu sieglu al descubrimientu del cálculu infinitesimal.
A mediaos del sieglu XVII les cantidaes infinitesimales fueron cada vez más usaes pa resolver problemes de cálculos de tanxentes, árees, volumes; los primeres daríen orixe al cálculu diferencial, los otros al integral.
Newton y Leibniz
A finales del sieglu XVII sintetizar en dos conceutos los algoritmos usaos polos sos predecesores, no que güei llamamos «derivada» y «integral». La historia de la matemática reconoz que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son el creadores del cálculu diferencial ya integral. Ellos desenvolvieron regles pa manipoliar les derivaes (regles de derivación) y Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración son operadores inversos.
Newton desenvolvió en Cambridge el so propiu métodu pal cálculu de tanxentes. En 1665 atopó un algoritmu pa derivar funciones alxebraiques que coincidía col descubiertu por Fermat. A finales de 1665 dedicar a reestructurar les bases del so cálculu, intentando desligarse de los infinitesimales, ya introdució el conceutu de flusión, que para él yera la velocidá cola qu'una variable «flúi» (varia) col tiempu.
Gottfried Leibniz, pela so parte, formuló y desenvolvió el cálculu diferencial en 1675. Foi'l primeru en publicar les mesmes resultaos que Isaac Newton afayara 10 años antes. Na so investigación caltuvo un calter xeométricu y trató a la derivada como un cociente incremental y non como una velocidá, viendo'l sentíu de la so correspondencia cola rimada de la recta tanxente a la curva en dichu puntu.
Leibniz ye l'inventor de diversos símbolos matemáticos. A él deben los nomes de: cálculu diferencial y cálculu integral, según los símbolos de derivada y el símbolu de la integral ∫.
Conceutos y aplicaciones El conceutu de derivada ye unu de los conceutos básicos del Analís matemáticu. Los otros son los d'integral indefinida, integral definida, socesión; sobre manera, el conceutu liminar de llende. Este ye usáu pa la definición de cualquier tipu de derivada y pa la integral de Riemann, socesión converxente y suma d'una serie y la continuidá. Pola so importancia, hai un antes y dempués de tal conceutu que biseca les matemátiques previes, como'l Álxebra, la Trigonometría o la Xeometría Analítica, del Cálculu. Según Einstein, el mayor apurra que se llogró de la derivaes foi la posibilidá de formular diversos problemes de la física por aciu ecuaciones diferenciales .
La derivada ye un conceutu que tien variaes aplicaciones. Aplicar naquellos casos onde ye necesariu midir la rapidez con que se produz el cambéu d'una magnitú o situación. Ye una ferramienta de cálculu fundamental nos estudios de Física, Química y Bioloxía, o en ciencies sociales como la Economía y la Socioloxía. Por casu, cuando se refier a la Gráfica d'una función gráfica de dos dimensiones de , considérase la derivada como la rimada de la recta tanxente del gráficu nel puntu . Puede averase la rimada d'esta tanxente como la llende cuando la distancia ente los dos puntos que determinen una recta secante tiende a cero, esto ye, tresfórmase la recta secante nuna recta tanxente. Con esta interpretación, pueden determinase munches propiedaes xeométriques de los gráficos de funciones, tales como monotonía d'una función (si ye creciente o decreciente) y la cuéncanu o convexidá.
Delles funciones nun tienen derivada en toos o en dalgún de los sos puntos. Por casu, una función nun tien derivada nos puntos en que se tien una tanxente vertical, una discontinuidá o un puntu angulosu. Afortunadamente, gran cantidá de les funciones que se consideren nes aplicaciones son continues y la so gráfica ye una curva nidia, polo que ye susceptible de derivación.
Les funciones que son diferenciables (derivables si falar nuna sola variable), son aproximables linealmente.
Definiciones de derivada thumb|350px|Esquema qu'amuesa les medríes de la función en x y en y. En terminoloxía clásica, la diferenciación manifiesta'l coeficiente en qu'una cantidá camuda por cuenta de un cambéu n'otra cantidá .
En matemátiques, coeficiente ye un factor multiplicativu que pertenez a ciertu oxetu como una variable, un vector unitariu, una función base, etc.
En física, coeficiente ye una espresión numbérica que por aciu dalguna fórmula determina les carauterístiques o propiedaes d'un cuerpu.
Nel nuesu casu, reparando la Gráfica d'una función gráfica de la derecha, el coeficiente del que falamos vendría representáu nel puntu de la función poel resultáu de la división representada pola rellación , que como puede comprobase na gráfica, ye un valor que se caltién constante a lo llargo de la llinia recta azul que representa la tanxente nel puntu de la función. Esto ye bono d'entender yá que el triángulu rectángulu formáu na gráfica con vértiz nel puntu , por enforma que lo dibuxemos más grande, al ser una figura proporcional el resultáu de ye siempres el mesmu.
Esta noción constitúi l'aproximamientu más rápidu a la derivada, yá que l'acercamientu a la rimada de la recta tanxente ye tantu pela derecha como pela izquierda de manera simultánea.
Llende como cociente de diferencies thumb|right|Recta secante ente f(x) y f(x+h).
La derivada d'una función ye la pendiente xeométrica de la recta tanxente del gráficu de en . Ensin el conceutu que se va a definir, nun ye posible atopar direutamente la rimada de la llinia tanxente a una función dada, porque solamente conozse un puntu na llinia tanxente: . La idea ye averar la llinia tanxente con múltiples llinies secantes que tienen distancies progresivamente más pequeñes ente los dos puntos que crucien. Cuando se toma la llende de les rimaes de les llinies secantes d'esta progresión, consíguese la rimada de la llinia tanxente. Defínese, pos, la derivada tomando la llende de la rimada de les llinies secantes, al averales a la llinia tanxente. P'atopar les rimaes de les llinies secantes próximes, escuéyese un númberu relativamente pequeñu. representa un cambéu relativamente pequeñu en , que puede ser positivu o negativu. La rimada de la recta que pasa polos dos puntos y ye:
.
thumb|260px|Enclín de la secante de la curva y=f(x).
espresión denomada «cociente de Newton».Serge Lang: "Introducción al analís matemáticu", páx. 55, ISBN 0-201-62907-0
La derivada de en ye entós la llende del valor del cociente diferencial, conforme les llinies secantes averar a la llinia tanxente:
.
Si la derivada de esiste en tolos puntos , puede definise la derivada de como la función que'l so valor en cada puntu ye la derivada de en .
Puesto que sustituyir por 0 produz una división per cero, calcular direutamente la derivada puede nun ser intuitivu. Una téunica posible consiste n'operar nel numberador, de manera que pueda atayase la del denominador. Y eso ye posible fácilmente nos polinomios. Pero pa munches otres funciones el resultáu ye inciertu. Afortunadamente, hai regles xenerales que faciliten estremar la mayoría de les funciones simples.
Continuidá y diferenciabilidad
Una condición necesaria pero non abondu por que una función seya derivable nun puntu ye qu'esta seya continua. Intuitivamente, una función continua ye aquella na cual pequeñes medríes nos elementos del dominiu de la variable dependiente produz pequeñes medríes nel valor de dicha función, de manera que
.
Faciendo estes medríes cada vez más pequeños, les variaciones fáense más pequeñes; cuando estos avérense a cero, na llende,
colo que se llogra, f(x)=y. Pa un puntu particular a, quier dicir que , y si esta postrera llende esiste significa en consecuencia por un teorema de llendes (una llende esiste si y namái si les dos llendes llaterales esisten y son iguales) que toa función f(x) que cumpla con
ye continua nel puntu a. De resultes lóxica, toa función derivable nel intervalu abiertu I, ye continua en I.
Condición necesaria thumb|240px|derecha|La función valor absolutu nun tien derivada nel puntu (0,0). La rellación nun funcionar a la inversa: el qu'una función seya continua nun garantiza la so derivabilidad. Ye posible que les llendes llaterales sían iguales pero les derivaes llaterales non; nesti casu concretu, la función presenta un puntu angulosu en dichu puntu.
Un exemplu recurrente na lliteratura avezada — pue ser la función valor absolutu (tamién llamada módulu) nel puntu . Dicha función esprésase:
Pa valores infinitamente cercanos a 0, por dambes cañes, el resultáu tiende a 0. Y el resultáu nel puntu 0 ye tamién 0, polo tanto ye continua. Sicasí, les derivaes resulten:
Cuando vale 0, les derivaes llaterales dan resultaos distintes. Poro, nun esiste derivada nel puntu, a pesar de que seya continuu.
De manera informal, si'l gráficu de la función tien puntes agudes, atáyase o tien saltos, nun ye derivable. Sicasí, la función y=x|x| ye diferenciable pa tou x. Tópese la so función derivada. N'otros términos, qu'una función seya continua ye una condición necesaria por que dicha función seya diferenciable. (Ver "Analís matemáticu" d'Apóstol.)
Derivada d'una función thumb|Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, una y bones el "swing" d'una función camuda cuando camuda l'argumentu.
Considerando la función f definida nel intervalu abiertu I y un puntu a fixu en I, tiense que la derivada de la función f nel puntu defínese como sigue: