Дыскрыміна́нт ( — падзяляць, адрозніваць) або адро́знік мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча. Так, для мнагачлена
дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як
дзе − карані мнагачлена (г.зн. рашэнні ўраўнення ) з улікам іх кратнасцей.
Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.
Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага ураўнення вызначаюць як адрознік мнагачлена .
Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.
Дыскрымінант квадратнага ўраўнення
Карані квадратнага ўраўнення
з рэчаіснымі каэфіцыентамі , і можна вылічыць па формуле
Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).
Гэты выраз
называюць дыскрымінантам квадратнага ўраўнення
і абазначаюць праз .
Калі , падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні і . Калі , значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2). Калі , квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў . Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з'яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.
Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.
Азначэнне ў агульным выпадку
Няхай − мнагачлен -ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля). Няхай ёсць поле раскладання мнагачлена (г.зн. у гэтым полі мнагачлен раскладваецца на лінейныя множнікі).
Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена вызначаюць як
дзе − карані мнагачлена , якія ляжаць у полі .
Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці існуе поле раскладання. Так, поле дзелей колца з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца . І ў якасці поля раскладання можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля .
Уласцівасці дыскрымінанта
Сувязь з рэзультантам
Няхай поле мае нулявую характарыстыку.
Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена над полем можна вылічыць як рэзультант мнагачлена і яго вытворнай , падзелены на старшы каэфіцыент :
Адсюль вынікае тоеснасць
Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагачлена
Рэзультант мнагачлена і яго вытворнай роўны вызначніку пэўнай -матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра). Таму, калі поле мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:
Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік , які скароціцца.
Прыклады Адрознік квадратнага мнагачлена роўны
Адрознік кубічнага мнагачлена раўняецца
Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені роўны
Гл. таксама Рэзультант Дыскрымінант поля
Зноскі
Літаратура Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975. Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.
Спасылкі
Катэгорыя:Алгебра Катэгорыя:Мнагачлены Катэгорыя:Ураўненні