right|thumb|301px|Перасячэнне прамых (анімацыя) Аксіё́ма парале́льнасці Эўклі́да, або пя́ты пастула́т — адна з аксіём класічнай планіметрыі. Упершыню прыведзена ў «Пачатках» Эўкліда: І калі прамая, падаючы на дзве прамыя, утварае ўнутраныя і па адзін бок вуглы, меншыя за два прамыя, то працягнутыя неабмежавана гэтыя прамыя сустрэнуцца з таго боку, дзе вуглы меншыя за два прамыя. Эўклід адрознівае паняцці пастулат і аксіёма, не тлумачачы іх розніцы; у розных рукапісах «Пачаткаў» Эўкліда раздзяленне сцвярджэнняў на аксіёмы і пастулаты адрозніваецца, таксама не супадае і іх парадак. У класічным выданні «Пачаткаў» Хейберга сфармуляванае сцвярджэнне з'яўляецца пятым пастулатам.
На сучаснай мове Эўклідаў тэкст можна перафармуляваць так: Калі [на плоскасці] пры перасячэнні дзвюх прамых трэцяю сума ўнутраных аднабаковых вуглоў меншая за 180°, то гэтыя прамыя пры дастатковым прадаўжэнні перасякаюцца, і прытым з таго боку, з якое гэта сума меншая за 180°. Удакладненне, з якога іменна боку перасякаюцца прамыя, Эўклід дадаў, верагодна, дзеля яснасці — лёгка даказаць, што яно выцякае з самога факта існавання перасячэння.
Пяты пастулат вельмі моцна вылучаецца сярод іншых пастулатаў Эўкліда, простых і інтуітыўна відавочных (гл. Пачаткі Эўкліда). Таму на працягу двух тысячагоддзяў не спыняліся спробы выключыць яго са спіса аксіём і вывесці як тэарэму. Усе гэтыя спробы закончыліся няўдачаю. «Верагодна, немагчыма ў навуцы знайсці больш захапляльную і драматычную гісторыю, чым гісторыя пятага пастулата Эўкліда». Нягледзячы на адмоўны вынік, гэтыя пошукі не былі дарэмнымі, бо ў канчатковым выніку прывялі да поўнага перагляду навуковых уяўленняў аб геаметрыі Сусвету.
Эквівалентныя фармулёўкі пастулата аб паралельных
У сучасных крыніцах звычайна прыводзіцца іншая фармулёўка пастулата аб паралельных, раўназначная V пастулату. Яна належыць Проклу (у замежнай літаратуры яе часта называюць аксіёмаю Плейфера):
На плоскасці праз пункт, які не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці адну і толькі адну прамую, паралельную дадзенай. У гэтай фармулёўцы слова «адну і толькі адну» часта замяняюць на «толькі адну» ці «не больш чым адну», бо існаванне хаця б аднае такой паралельнай адразу вынікае з тэарэм 27 і 28 «Пачаткаў» Эўкліда.
Увогуле, для V пастулата існуе вялікая колькасць раўназначных фармулёвак, многія з якіх самі па сабе здаюцца даволі відавочнымі. Вот некаторыя з іхEuclid’s Fifth Postulate.
Існуе прамавугольнік (хаця б адзін), г. зн. чатырохвугольнік, у якога ўсе вуглы прамыя. Існуюць падобныя, але не роўныя трохвугольнікі (аксіёма Валіса, 1693). І тут дастаткова, каб існавала хоць адна пара такіх трохвугольнікаў. Любую фігуру можна прапарцыянальна павялічыць. Варыянт: ёсць хоць адна фігура, якую можна прапарцыянальна павялічыць. Існуе трохвугольнік з адвольна вялікаю плошчаю. Прамая, праведзеная праз пункт унутры вугла, перасякае прынамсі адну яго старану (аксіёма Іагана Фрыдрыха Лорэнца, 1791). Праз кожны пункт унутры вострага вугла заўсёды можна правесці прамую так, каб яна перасякала абедзве яго стараны (адно з дапушчэнняў Лежандра, 1800). Прамыя, збліжаючыся, рана ці позна перасякуцца. Варыянт: перпендыкуляр і нахільная да аднае і тае ж прамой абавязкова перасякаюцца. Сцвярджэнне вядомае як пастулат Лежандра, хоць гэта фармулёўка сустракалася яшчэ ў XIII стагоддзі ў працах ат-Тусі. Пункты, роўнааддаленыя ад данай прамой (па адзін бок), утвараюць прамую. Варыянт: адлегласць паміж паралельнымі прамымі заўсёды нязменная, г. зн. паралельныя прамыя не могуць ні збліжацца, ні разбягацца. Калі дзве прамыя пачалі збліжацца, то немагчыма, каб яны затым пачалі (у той жа бок, без перасячэння) разбягацца (аксіёма Роберта Сімсана, 1756). Варыянт: Калі дзве прамыя ў адзін бок разбягаюцца, то ў другі — збліжаюцца. Сума вуглоў аднолькавая ва ўсіх трохвугольнікаў. Варыянт: існуе хоць адна пара нероўнавялікіх трохвугольнікаў з аднолькаваю сумаю вуглоў. Існуе трохвугольнік (хоць адзін), сума вуглоў якога роўна двум прамым. Дзве прамыя, паралельныя трэцяй, паралельныя і адна адной (аксіёма Астраградскага, 1855). Лінія, артаганальная некатораму сямейству паралельных прамых, ёсць прамая. Прамая, перасякаючы адну з паралельных прамых, абавязкова перасячэ і другую. Для ўсякага нявыраджанага трохвугольніка існуе апісаная акружнасць (аксіёма Форкаша Бояі). Справядліва тэарэма Піфагора (хаця б для аднаго прамовугольнага трохвугольніка). Варыянт: прастора мае Эўклідаву метрыку. Адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра ёсць пастаянная велічыня, г. зн. аднолькавая для любой акружнасці. Варыянт: дзель даўжыні акружнасці на яе дыяметр роўная ліку Пі (хаця б у аднае акружнасці).
Іх раўназначнасць азначае, што іх усе можна даказаць як тэарэмы, калі прыняць V пастулат, і наадварот, замяняючы V пастулат на любое з гэтых сцвярджэнняў, можна даказаць зыходны V пастулат як тэарэму.
Калі замест V пастулата дапусціць, што для пары пункт—прамая V пастулат несправядлівы, то атрыманая сістэма аксіём будзе апісваць геаметрыю Лабачэўскага. Зразумела, што ў геаметрыі Лабачэўскага ўсе вышэйназваныя раўназначныя сцвярджэнні не спраўджваюцца.
Сістэма аксіём сферычнай геаметрыі таксама патрабуе змянення і іншых аксіём Эўкліда.
Пяты пастулат рэзка выдзяляецца сярод іншых, даволі відавочных, ён больш падобен на складаную, невідавочную тэарэму. Эўклід, верагодна, усведамляў гэта, і таму першыя 28 сцвярджэнняў у «Пачатках» даказваюцца без яго дапамогі.
«Эўклід безумоўна павінен быў ведаць розныя формы пастулата аб паралельных». Чаму ж ён выбраў прыведзеную, складаную і грувасткую? Гісторыкі выказвалі розныя меркаванні аб прычынах такога выбару. В. П. Смілга меркаваў, што Эўклід такой фармулёўкай паказваў, што гэтая частка тэорыі незавершана. М. Клайн звяртае ўвагу на тое, што Эўклідаў пяты пастулат мае лакальны характар, г. зн. апісвае з'яву на абмежаваным участку плоскасці, тады як, напрыклад, аксіёма Прокла сцвярджае факт паралельнасці, які патрабуе разгляду ўсяе бесканечнай прамой. Трэба патлумачыць, што антычныя матэматыкі пазбягалі выкарыстання актуальнай бесканечнасці; напрыклад, дургі пастулат Эўкліда сцвярджае не бесканечнасць прамой, а ўсяго толькі тое, што «прамую можна непарыўна працягваць». З пункту погляду антычных матэматыкаў, вышэйназваныя эквіваленты пастулата аб паралельных маглі казацца непрымальнымі: яны альбо спасылаюцца на актуальную бесканечнасць ці (яшчэ не ўведзенае) паняцце вымярэння, альбо таксама не вельмі відавочныя. Яшчэ адну версію прапанаваў гісторык Імрэ Тот: эўклідава фармулёўка, магчыма, была спачатку (памылкова даказанаю) тэарэмаю ў кагосьці з папярэднікаў Эўкліда, і калі пераканаліся, што даказаць яе не ўдаецца, статус тэарэмы павысілі да пастулата, не мяняючы тэксту фармулёўкі.
Абсалютная геаметрыя
Калі са спіса аксіём выключыць V пастулат, то атрыманая сістэма аксіём будзе апісваць так званую абсалютную геаметрыю. У прыватнасці, першыя 28 тэарэм «Пачаткаў» Эўкліда даказваюцца без выкарыстання V пастулата і таму адносяцца да абсалютнай геаметрыі. Для далейшага адзначым дзве тэарэмы абсалютнай геаметрыі: Паралельныя прамыя існуюць; гэта вынікае з тэарэм 27 і 28 «Пачаткаў» Эўкліда. Пры прадаўжэнні дзвюх прамых ад пункта іх перасячэння адлегласць паміж імі неабмежавана нарастае.
Спробы доказу Матэматыкі з даўніх часоў спрабавалі «палепшыць Эўкліда» — альбо выключыць пяты пастулат з ліку зыходных сцвярджэнняў, г. зн. даказаць яго, абапіраючыся на астатнія пастулаты і аксіёмы, альбо замяніць яго іншым, такім жа відавочным, як іншыя пастулаты. Надзею на дасяжнасць гэтага выніку патрымлівала тое, што IV пастулат Эўкліда (усе прамые вуглы роўныя між сабой) і праўда аказаўся лішнім — ён быў строга даказан як тэарэма і выключаны з пераліку аксіём.
За два тысячагоддзі было прапанавана шмат доказаў пятага пастулата, але ў кожным з іх рана ці позна выяўляўся заганны круг: аказвалася, што сярод яўных ці няяўных дапушчэнняў было сцвярджэнне, якое не ўдаецца даказаць без выкарыстання таго ж пятага пастулата.
Прокл (V стагоддзе н. э.) у «Каментарыі да I кнігі Пачаткаў Эўкліда» паведамляе, што такі доказ прапанаваў Клаўдзій Пталемей, крытыкуе яго доказ і прапануе свой уласны. Спрошчана яго можна апісаць так: няхай прамая праходзіць праз вызначаны пункт паралельна прамой ; дакажам, што любая іншая прамая , праведзеная праз той жа пункт, перасякаецца з прамою . Як гаварылася вышэй, адлегласць паміж прамымі ад пункта іх перасячэння нарастае неабмежаванна (яшчэ раз падкрэслім, што доказ гэтай тэарэмы не абапіраецца на V пастулат). Але тады ў рэшце рэшт адлегласць паміж і перавысіць адлегласць паміж паралельнымі прамымі, г. зн. прамыя і перасякуцца.
Прыведзены доказ апіраецца на дапушчэнне, што адлегласць паміж прамымі пастаянная (ці хаця б абмежавана). Пазней высветлілася, што гэтае дапушчэнне раўназначнае V пастулату.
Вучоны I стагоддзя да н. э. Пасідоній прапанаваў вызначыць паралельные як прамыя, на ўсём працягу роўнааддаленыя адна ад аднае. З такога азначэння лёгка выводзіцца пяты пастулат. Аднак Пасідоніева азначэнне некарэктнае: ніадкуль не вынікае, што лінія, роўнааддаленая ад данай прамой, ёсць прамая.
Пасля ўпадку антычнае культуры V пастулатам заняліся матэматыкі ісламскіх краін. Доказ ал-Джаухары, вучня ал-Харэзмі (IX стагоддзе), няяўна дапускаў, што калі пры перасячэнні дзвюх прамых нейкаю трэцяю накрыж-ляжачыя вуглы роўныя, то тое ж справядліва пры перасячэнні тых жа прамых любою іншаю. І гэта дапушчэнне раўназначнае V пастулату.
Сабіт ібн Кура (IX стагоддзе) даў два доказы; у першым ён апіраецца на дапушчэнне, што калі дзве прамыя аддаляюцца адна ад аднае з аднаго боку, яны абавязкова прыбліжаюцца з другога боку. У другім, як і Пасідоній, ён зыходзіць з існавання роўнааддаленых прамых, прычом гэты факт ібн Кура спрабуе вывесці з уяўлення аб «простым руху», г. зн. аб раўнамерным руху на нязменнай адлегласці ад прамой (яму здаецца відавочным, што траекторыя такога руху — таксама прамая). Кожнае з двух названых сцвярджэнняў Ібн Куры раўназначнае V пастулату.
right|200px|frame|Чатырохвугольнік Ламберта
Падобную ж памылку зрабіў ібн ал-Хайсам, але ён упершыню разгледзеў фігуру, якую пазней сталі называць «чатырохвугольнікам Ламберта», — чатырохвугольнік, у якога тры ўнутраныя вуглы — прамыя. Ён сфармуляваў тры магчымыя варыянты для чацвёртага вугла: востры, прамы, тупы. Абмеркаванне гэтых трох гіпотэз, у розных варыянтах, шмат разоў узнікала ў пазнейшых даследаваннях.
Паэт і матэматык Амар Хаям раскрытыкаваў спробы ўвесці ў геаметрыю механічны рух. Ён прапанаваў замяніць V пастулат на іншы, больш просты: дзве прамыя, збягаючыся, перасякаюцца, і немагчыма, каб дзве прамыя разбягаліся ў напрамку збліжэння. Кожная з дзвюх частак гэтага сцвярджэння раўназначная пастулату Эўкліда.
Ал-Абхары прапанаваў доказ, падобны да доказу ал-Джаухары. (Гэты доказ прыводзіць у сваёй кнізе ас-Самаркандзі, і рад даследчыкаў лічыў яго доказам ас-Самаркандзі.) Ён зыходзіць з вернага ў абсалютнай геаметрыі сцвярджэння, што для ўсякай прамой, якая перасякае стораны данага вугла, можна пабудаваць яшчэ адну прамую, якая перасякае стораны гэтага ж вугла і ляжыць ад яго вяршыні далей, чым першая. Але з гэтага сцвярджэння ён робіць неабгрунтаваны вывад, што праз усякі пункт унутры данага вугла можна правесці прамую так, каб яна перасякала абедзве стораны гэтага вугла, — і будуе на апошнім сцвярджэнні, раўназначным V пастулату, увесь далейшы доказ.
Насір ад-Дзін ат-Тусі прапанаваў пабудову, падобную на пабудову Амара Хаяма. Адзначым, што творы ат-Тусі сталі вядомыя Джону Валісу, і тым самым адыгралі ролю ў разгортванні даследаванняў па неэўклідавай геаметрыі ў Еўропе.
У сярэдневяковай Еўропе першую вядомую спробу доказу аксіёмы паралельнасці Эўкліда зрабіў жыхар Праванса (Францыя) Герсанід (ён жа Леві бен Гершом, XIV стагоддзе). Яго доказ апіраўся на сцвярджэнне аб існаванні прамавугольніка.
Да XVI стагоддзя адносіцца доказ вучонага-езуіта Хрыстафора Клавіуса. Яго доказ, як і ў ібн Куры, быў заснаваны на сцвярджэнні, што лінія, роўнааддаленая ад прамой — таксама прамая.